jam

Bilangan Jam A. Pengertian Bilangan Jam Misalkan kita mempunyai sebuah lingkaran dengan lima titik pada lingkaran itu, seperti pada gambar dibawah ini. Kemudian kita bubuhkan pada titik-titik lambang-lambang bilangan dari “0” sampai “4”. Untuk menunjukkan posisi, digunakan satu jarum petunjuk yang biasanya diputar seperti pada jarum jam, yaitu ke kanan. Jam seperti itu kita sebut Jam limaan, karena hanya mempunyai lima angka dari 0 sampai 4. Contoh: 1. Pada jam tujuhan, lambang-lambang bilangan yang digunakan ialah 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. 2. Pada jam dua belasan, lambang-lambang bilangan yang digunakan ialah 0, 1, 2, 3, 4,......, dan 11. Dengan bilangan jam dapat juga dilakukan pengerjaan hitung (operasi hitung) yang membicarakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada buku paket disekolah dasar, pengerjaan-pengerjaan hitung bilangan jam tersebut biasa disebut aritmatika jam. Pada aritmatika jam ini bilangan-bilangannya tertulis pada permukaan jam tertentu itu. Diperguruan tinggi, aritmatika jam yang dibahas ini sama dengan aritmatika modular, karena pada aritmatika jam, angka untuk bilangan yang paling besar diganti dengan angka 0. Misalnya: a. Pada aritmatika jam limaan, lambang bilangan yang digunakan ialah 1, 2, 3, 4, dan 0. b. Pada aritmatika jam dua belasan, lambang bilangan yang digunakan ialah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan 0. Pada aritmatika jam 12-an inilah dimaksudkan jam untuk menentukan waktu. B. Operasi Penjumlahan Gambar di atas ini merupakan muka jam yang biasa dipakai untuk menentukan waktu. Jarum jamnya menunjuk ke arah 12, berarti menunjukkan jam 12. Bila 2 jam kemudian pelajaran selesai, jarum jam tadi menunjuk ke angka berapa? Dengan menggerakkan (memutar) jarum jam sejauh 2 langkah, jarum jam menunjukkan angka 2. Berarti menunjukkan jam 2. Bila 4 jam sesudah itu kita makan, jarum jam tadi menunjuk ke angka berapa? Dengan menggerakkan jarum jam sejauh 4 langkah, jarum jam menunjuk angka 6. Berarti menunjukkan jam 6. Sekarang pandanglah contoh diatas sebagai penjumlahan, yaitu 2 4 = 6. Kalimat itu disebut kalimat penjumlahan jam dengan suku pertamanya 2 dan suku keduanya adalah 4. Kalimat itu dapat digambarkan sebagai berikut 2 4 = 6 Perhatikan kembali kalimat-kalimat berikut ini. 1. 5 jam setelah pukul 12, Eti mandi ; 4 jam sesudah itu ia makan. Menunjukkan angka berapakah jarum jam? 2. Edi pulang dari sekolah pukul 10; 7 jam setelah itu ia belajar. Menunjukkan angka berapakah jarum jam? Kalimat-kalimat tersebut dapat digambarkan sebagai berikut: (1) (2) Dengan menggerakkan jarum tadi pada muka jam, kita perhatikan, bahwa bila kita mulai dari angka 5 kemudian berputar 4 selang, kita akan sampai pada angka 9. Kalimat penjumlahannya ditulis: 5 4 = 9 Bila kita mulai dari angka 10 kemudian berputar 7 selang, kita akan sampai pada angka 5. Kalimat penjumlahannya ditulis: 10 7 = 5 Penjumlahan seperti itu, disebut penjumlahan jam. Pengertian-pengertian yang dibicarakan diatas, yaitu pengertian tentang jam yang dimaksudkan untuk menentukan waktu. Pengertian-pengertian tersebut berlaku juga untuk jam-jam yang lain. Meskipun banyaknya anggota dalam himpunan diubah menjadi kurang dari 12. Kemudian kita dapat gunakan jam tersebut untuk menunjukkan penjumlahan jam. Misalnya pada jam limaan, dimana banyak angka yang tertulis pada jam ini ada 5, yaitu angka 0, 1, 2, 3, dan 4. Untuk operasi penjumlahan pada jam limaan ini kita selalu mulai dari titik 0 bergerak ke kanan. Contoh: a. Berapakah 3 2 ? Mulailah dari titik 0 bergerak kekanan, mula-mula 3 selang, kemudian 2 selang. Akan sampai di titik 0 kembali. Jadi 3 2 = 0 b. Berapakah 4 3 ? Mulailah dari titik 0 bergerak kekanan, mula-mula 4 selang, kemudian 3 selang. Akan sampai di titik 2. Jadi 4 3 = 2 c. Berapakah 4 1 ? Mulailah dari titik 0 bergerak kekanan, mula-mula 4 selang, kemudian 1 selang. Akan sampai di titik 0. Jadi 4 1 = 0 d. Berapakah 1 1 ? Mulailah dari titik 0 bergerak kekanan, mula-mula 1 selang, kemudian 1 selang. Akan sampai di titik 2. Jadi 1 1 = 2 Dari contoh-contoh diatas ternyata: 1) 3 2 = 4 1 = 0 2) 4 3 = 1 1 = 2 Bila tiap-tiap dua angka pada jam limaan ini dijumlahkan seperti diatas, kita dapat membuat tabel penjumlahan sebagai berikut: 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 Pada sistem jam delapanan, coba perhatikan contoh-contoh berikut: 3 + 4 = 7. 5 + 3 = 0 6 + 3 = 1. 0 + 2 = 2. 4 + 7 = 3. 7 + 6 = 5. Dengan memperhatikan contoh-contoh di atas maka dapat digeneralisasi penjumlahan bilangan pada sistem jam k-an. Jika a, b, merupakan angka-angka pada jam k-an, maka akan berlaku: (a + b) < k, maka a b = a + b (a + b) > k, maka a b = a + b – k (a + b) = k, maka a b = 0 Contoh : Pada sistem jam delapanan, tentukanlah nilai dari: (1) 3 2. (2) 5 2. (3) 6 7. (4) 5 7. (5) 7 7. Penyelesaian: k = 8. (1) 3 2 = 5 , karena 5 < 8. (2) 5 2 = 7 , karena 7 < 8. (3) 6 7 = 13 – 8 = 5 , karena 13 > 8. (4) 5 7 = 12 – 8 = 4 , karena 12 > 8. (5) 7 7 = 14 – 8 = 6, karena 14 > 8. Sifat- sifat operasi penjumlahan Kita dapat menggunakan tabel penjumlahan untuk mempelajari sifat-sifat pengerjaan pada penjumlahan jam. Sifat-sifat itu adalah sebagai berikut: 1. Sifat tertutup Bila nanti kita mengajar tanyakanlah pada murid-murid pertanyaan berikut: Bayangkanlah himpunan yang berisi bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, dan 4. Jika kamu menjumlahkan dua bilangan yang manapun dari himpunan itu dengan menggunakan penjumlahan jam, apakah jumlahnya adalah bilangan anggota himpunan itu juga? (Ya). Bimbinglah murid-murid agar mereka mengerti, bahwa daftar tersebut berisi semua jumlah yang mungkin dan jumlah-jumlah tersebut adalah bilangan-bilangan dalam himpunan tadi. Jelaskan bahwa himpunan bilangan {0, 1, 2, 3, 4} bersifat tertutup untuk penjumlahan dengan menggunakan jam limaan. 2. Sifat pertukaran Perhatikan kembali tabel penjumlahan dengan menggunakan jam limaan tadi, kemudian tuliskan di papan tulis pasangan-pasangan kalimat seperti di bawah ini. 3 1 = a 4 2 = b 3 4 = c 1 3 = a 2 4 = b 4 3 = c Suruhlah 3 orang murid secara bergiliran menyelesaikan ketiga pasang soal itu. Kemudian tanyakanlah kepada mereka: “Berapakah 3 1 ?” (4) “Berapakah 1 3 ?” (4) “Bagaimana suku-sukunya?” (sama) “Bagaimana letak suku-sukunya?” (dipertukarkan) “Bagaimana jumlahnya?” (sama) Pertanyaan-pertanyaan seperti itu ajukanlah untuk pasangan soal-soal lainnya. Kalimat matematika untuk setiap pasangan soal itu: 3 1 = 1 3 = 4 4 2 = 2 4 = 1 3 4 = 4 3 = 2 Dengan pertanyaan-pertanyaan seperti itu bimbinglah murid-murid agar mengerti bahwa sifat penjumlahan jam seperti itu disebut sifat pertukaran. Secara umum jika a dan b adalah dua bilangan yang manapun dari himpunan bilangan tadi, maka a + b = b + a. Selain dengan cara mencobanya seperti diatas, kita dapat menggunakan daftar penjumlahan untuk memperlihatkan berlakunya sifat itu. 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 Dalam daftar itu dapat kita lihat bahwa bilangan-bilangan yang lambangnya tertulis di atas diagonal adalah sama dengan yang tertulis dibawah diagonal. 3. Sifat pengelompokan Dengan menggunakan tabel penjumlahan tadi kita dapat menghitung penjumlahan sebagai berikut: 3 (2 4) = 3 1 = 4 (3 2) 4 = 0 4 = 4 Jadi 3 (2 4) = (3 2) 4 Secara umum jika a, b, dan c adalah tiga bilangan yang mana pun dari himpunan tadi, maka: a (b c) = (a b) c secara umum ini disebut sifat pengelompokan untuk penjumlahan bilangan jam. 4. Sifat bilangan nol 2 0 = n 3 0 = n 1 0 = n Untuk menyelesaikan soal-soal seperti itu tidak perlu digunakan daftar penjumlahan tadi. Jika menjumlahkan bilangan cacah yang mana pun dengan nol, akan diperoleh jumlah yang sama dengan bilangan itu sendiri. Sifat ini berlaku juga pada penjumlahan jam. Dalam hal ini bilangan 0 merupakan unsur satuan bagi operasi tambah. Secara umum, jika a adalah sebuah bilangan yang mana pun dari himpunan tadi, maka a + 0 = a. Menambahkan 0 pada ilmu hitung jam, sama saja dengan tidak menggerakkan jarum jamnya. 5. Sifat berlawanan Perhatikan kembali tabel penjumlahan jam limaan tadi. Untuk setiap anggota himpunan {0, 1, 2, 3, 4} ada satu anggota lain yang jika dijumlahkan dengan bilangan yang pertama tadi jumlahnya adalah 0. 1 adalah lawan dari 4 dan 4 lawan dari 1, sebab 4 1 = 0 2 adalah lawan dari 3 dan 3 lawan dari 2, sebab 3 2 = 0 0 adalah lawan dari 0, sebab 0 0 = 0 Sifat ini disebut sifat berlawanan untuk penjumlahan bilangan jam. C. Operasi Pengurangan Jarum jam dibawah ini menunjuk ke angka 12, berarti menunjukkan pukul 12. Bila 3 jam yang lalu ani baru pergi ke sekolah, jarum tadi menunjuk ke angka berapa? Dengan menggerakkan jarum jam mundur 3 langkah, jarum jam menunjuk angka 9. Artinya ani pergi ke sekolah pada jam 9. Contoh ini dapat juga kita pandang sebagai penjumlahan 9 3 = 12 Seperti pada operasi penjumlahan, pengertian di atas berlaku juga untuk jam-jam yang lain, misalnya jam limaan, jam delapanan, dan sebagainya. Perhatikan gambar jam limaan dibawah ini. Perhatikan kalimat-kalimat penjumlahan pada jam limaan berikut ini. 2 n = 0 dan 1 n = 4 Perlu diingat bahwa n dalam masing-masing kalimat itu adalah suku yang belum diketahui. Kita dapat mencari n tersebut dengan menggunakan gambar jam limaan tadi. Untuk menunjukkan 2 n = 0, kita mulai dari titik 0 gerakkan jarum jam ke kanan sejauh 2 selang. Jarum menunjuk angka 2. Kita teruskan gerakan jarum jam tadi sampai menunjuk angka 0. Bila kita membilang banyaknya selang yang dilalui jarum jam dari titik 2 sampai titik 0, ternyata ada 3 selang. Artinya, suku yang belum diketahui ialah 3. Jadi n = 3. Untuk kalimat penjumlahan 1 n = 4, dapat kita kerjakan seperti kalimat pertama tadi sebagai berikut: Kita mulai dari titik 0. Kita gerakkan jarum jam ke kanan sejauh 1 selang. Jarum jam menunjuk angka 1. Kita teruskan gerakan jarum jam tadi sampai menunjuk angka 4. Ternyata banyaknya selang yang dilalui jarum jam dari titik 1 sampai titik 4 ada 3 selang. Artinya suku yang belum diketahui ialah 3. Jadi n = 3. Dengan mengingat kembali bahwa pengerjaan tambah itu merupakan lawan dari pengerjaan kurang, kalimat-kalimat penjumlahan di atas dapat ditulis sebagai kalimat-kalimat pengurangan sebagai berikut: a. Kalimat pengurangan untuk 2 n = 0 ialah 0 2 = n b. Kalimat pengurangan untuk 1 n = 4 ialah 4 1 = n Contoh: Misalkan kita ingin menghitung 2 4 = n pada jam limaan. Maksudnya ialah kita ingin mencari sebuah bilangan yang bila ditambahkan kepada 4 akan menghasilkan 2. Jadi kalimat penjumlahannya ialah 4 n = 2. Langkah-langkah pengerjaannya. 1) Mulai dari titik 0 jarum jam digerakkan ke kanan sejauh 4 selang. Jarum jam akan menunjuk angka 4 2) Meneruskan gerakan jarum jam ke kanan dari titik 4 sampai titik 2. 3) Membilang banyaknya selang yang dilalui jarum jam tadi dari titik 4 sampai titik 2. Ternyata ada 3 selang. Jadi, n = 3 Atau dengan cara sebagai berikut. 2 4 = 3 Mulai dari 0 melangkah sebanyak 2 selang searah jarum jam, diikuti 4 selang langkah mundur. Sampailah pada angka 3. Jadi, 2 4 = 3 Bila tiap-tiap dua angka pada jam limaan ini dikurangkan, kita dapat membuat tabel pengurangan sebagai berikut: 0 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 1 1 0 4 3 2 2 2 1 0 4 3 3 3 2 1 0 4 4 4 3 2 1 0 Dari tabel tersebut kita lihat bahwa operasi pengurangan pada jam limaan mempunyai sifat tertutup. Pada sistem jam delapanan, coba Anda perhatikan contoh-contoh berikut: 5 4 = 1. 7 3 = 4. 0 2 = 6. 1 4 = 5. 3 4 = 7. 4 7 = 5. Dengan memperhatikan contoh-contoh di atas, maka dapat digeneralisasi pengurangan bilangan pada sistem jam k-an. Jika a, b, merupakan angka-angka pada jam k-an, maka akan berlaku: a b = (a – b)+k, jika (a – b) < 0 a b = (a – b), jika (a – b) > 0 Contoh : Pada sistem jam delapanan, tentukanlah nilai dari: (1) 3 2. (2) 5 3. (3) 6 7. (4) 5 7. Penyelesaian: k = 8 (1) 3 2 = 1 , karena 1 > 0. (2) 5 3 = 2 , karena 2 > 0. (3) 6 7 = - 1 + 8 = 7 , karena -1 < 0. (4) 5 7 = - 2 + 8 = 6 , karena - 2 < 8. D. Operasi Perkalian Hasil kali dua bilangan jam didefinisikan seperti pada bilangan cacah, yaitu sebagai penjumlahan berulang. Contohnya: 4 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Seperti garis bilangan, permukaan jam dapat dipergunakan untuk meragakan operasi perkalian ini. Untuk itu contoh diatas akan diperagakan dengan menggunakan permukaan jam limaan sebagai berikut: Mulai dari 0 melangkah searah dengan arah jarum jam empat langkah, masing-masing langkah terdiri dari 2 selang. Sampailah pada angka 3. Jadi 4 2 = 3 Hasil kali dua bilangan jam limaan dapat juga diperoleh dimana kedua bilangan di perlakukan terlebih dahulu sebagai bilangan cacah. Apabila hasil kalinya melebihi 4, maka hasil kali itu dikurangi dengan suatu kelipatan 5 sedemikian sehingga terdapat sisa yang kurang dari 5. Sisa itulah hasil kali yang dicari. Dalam contoh diatas, maka: 4 2 = 8, jika 4 dan 2 dianggap bilangan cacah. 8 5 = 3, 3 adalah hasilnya apabila 4 dan 2 merupakan bilangan jam limaan. Semua hasil yang mungkin diperoleh dari perkalian dengan bilangan –bilangan pada jam limaan tadi, dapat ditunjukkan dalam daftar perkalian seperti dibawah ini. 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Kita dapat menggunakan tabel perkalian untuk mempelajari sifat-sifat pengerjaan perkalian jam. Sifat-sifat itu adalah sebagai berikut: 1. Sifat tertutup Daftar tersebut berisi semua hasil kali yang mungkin dan hasil kali tersebut adalah bilangan-bilangan dalam himpunan bilangan jam limaan tadi. Jelaslah bahwa himpunan bilangan {0, 1, 2, 3, 4} bersifat tertutup untuk perkalian dengan menggunakan jam limaan. 2. Sifat pertukaran Dalam daftar itu dapat kita lihat bahwa bilangan-bilangan yang lambangnya tertulis di atas diagonal adalah sama dengan tertulis di bawah diagonal. Bila daftar perkalian jam limaan itu dibuat pada kertas yang berbentuk bujur sangkar, kemudian dilipat sepanjang diagonalnya maka lambang bilangan 2 akan jatuh pada lambang bilangan 2, lambang bilangan 3 akan jatuh pada lambang bilangan 3, dan seterusnya. Cara ini memperlihatkan bahwa pada perkalian bilangan-bilangan jam limaan berlaku sifat pertukaran. 3. Sifat pengelompokan Dengan menggunakan tabel perkalian tadi kita dapat menghitung perkalian sebagai berikut: (4 2) 3 = 3 3 = 4 4 (2 3) = 4 1 = 4 Jadi, (4 2) 3 = 4 (2 3) = 4 Secara umum jika a, b, dan c adalah bilangan yang mana pun dari himpunan tadi maka: (a b) c = a (b c). Sifat ini disebut sifat pengelompokan untuk perkalian. 4. Sifat bilangan 1 Jika kita mengalikan bilangan cacah dengan 1, akan diperoleh hasil yang sama dengan bilangan itu sendiri. Sifat itu sebagai sifat 1 pada perkalian bilangan-bilangan cacah. Sifat ini berlaku juga pada perkalian bilangan jam. Dalam hal ini bilangan 1 merupakan unsur satuan bagi pengerjaan kali. Secara umum, jika a adalah sebuah bilangan yang manapun dari himpunan tadi, maka a 1 = 1 a = a E. Operasi Pembagian Hasil bagi dua bilangan jam didefinisikan seperti pada bilangan cacah, yaitu sebagai pengurangan berulang. Contoh berikut ini memperlihatkan pembagian pada bilangan cacah. 6 : 2 = 6 – 2 – 2 – 2 6 dikurangi 2 sebanyak tiga kali sehingga hasilnya didapat 0 Artinya 6 : 2 = 3 Dari contoh diatas terlihat bahwa bilangan yang dibagi, dikurangi bilangan pembagi berulang kali sehingga hasilnya sampai 0. Banyaknya pengurangan berulang tersebut merupakan hasil bagi dari pembagian tersebut. Konsep ini berlaku juga pada operasi pembagian dua bilangan jam. Misalnya jam limaan berikut ini. a. 3 : 1 = 3 – 1 – 1 – 1 3 dikurangi 1 sebanyak tiga kali sehingga hasilnya didapatkan 0. Artinya, 3 : 1 = 3 b. 4 : 2 = 4 – 2 – 2 4 dikurangi sebanyak dua kali sehingga hasilnya didapatkan 0. Artinya, 4 : 2 = 2 c. 4 : 3 = 4 – 3 – 3 – 3 4 dikurangi 3 sebanyak tiga kali sehingga hasilnya didapatkan 0. Artinya, 4 : 3 = 3 Pembagian-pembagian tersebut dapat diperagakan sebagai berikut: Mulai dari 3 melangkah mundur dengan masing-masing langkah terdiri dari 1 selang, sehingga sampai di 0. Ternyata banyaknya langkah ada 3. Artinya, 3 : 1 = 3 Mulai dari 4 melangkah mundur dengan masing-masing langkah terdiri dari 2 selang, sehingga sampai di 0. Ternyata banyaknya langkah ada 2. Artinya, 4 : 2 = 2 Mulai dari 4 melangkah mundur dengan masing-masing langkah terdiri dari 3 selang, sehingga sampai di 0. Ternyata banyaknya langkah ada 3. Artinya, 4 : 3 = 3 Perhatikan daftar operasi perkalian pada jam enaman dan jam limaan berikut ini. 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 a. Perhatikan daftar operasi perkalian jam enaman. 1 kebalikan dari 1, sebab 1 x 1 = 1 5 kebalikan dari 5, sebab 5 x 5 = 1 Tetapi 2, 3, dan 4 tidak mempunyai kebalikan, sebab bilangan-bilangan tersebut bila dikalikan dengan bilangan lainnya hasilnya bukan 1. Hal ini berarti pada bilangan jam enaman, pengerjan bagi tidak tertutup. b. Perhatikanlah daftar operasi perkalian jam limaan. Pada bilangan jam limaan itu untuk setiap bilangan (kecuali nol), ada bilangan lain yang merupakan kebalikannya, yaitu: 1 kebalikan dari 1, sebab 1 x 1 = 1 2 kebalikan dari 3, sebab 2 x 3 = 1 3 kebalikan dari 2, sebab 3 x 2 = 1 4 kebalikan dari 4, sebab 4 x 4 = 1 Hal ini berarti pada bilangan jam limaan, setelah bilangan nol dikeluarkan, pengerjaan bagi itu tertutup. Bila kita coba untuk sebarang bilangan jam n-an, kita akan dapat menyimpulkan bahwa pengerjaan bagi itu tertutup bila n merupakan bilangan prima.